Zanim zagrasz na loterii, powinieneś wiedzieć, że passy zwycięstw zdarzają się częściej, niż myślisz. Istnieje matematyczny powód

Zbieg okoliczności (i/lub szczęście) jest często mylony z intuicją. Przecież to naturalne, że jeśli wynik wydaje się mało prawdopodobny, pierwszą rzeczą, o której myślimy, jest to, że mamy do czynienia z niezwykłym wydarzeniem, a zatem dużym stopniem „szczęścia”. Weźmy na przykład loterię. Pomysł, aby wynik jeden na czternaście milionów pojawił się dwa razy w ciągu czterech dni, może wydawać się co najmniej nieprawdopodobny. I po, Zdarzyło się to więcej niż raz I ma wyjaśnienie.

Sprawa Bułgarii. W 2019 r. wszczęto szeroko zakrojone dochodzenie, aby dowiedzieć się, w jaki sposób bułgarska loteria mogła losować te same zwycięskie liczby przez tydzień (4, 15, 23, 24, 35 i 42) i zostały one Te same liczby podano cztery dni temu W tej samej konkurencji.

Faktem jest, że rząd w obliczu gniewu opinii publicznej wszczął śledztwo, aby ustalić, czy doszło do jakiejś manipulacji, czy też nie, ale nie stwierdził żadnych naruszeń. Nie był to przypadek wyjątkowy.

Kanada to przywróciła. Ta historia nie prowadzi do tego, że kanadyjscy urzędnicy mieli tę samą ironię. Nastąpiło to, gdy postanowili zwrócić nieodebrane nagrody pieniężne, które zebrali od milionów subskrybentów. Co oni zrobili? Kupili 500 samochodów i za pomocą komputera wygenerowali losowo 500 liczb.

W ten sposób każdy, kto będzie miał ten numer, odbierze samochód. Zaskoczenie nastąpiło, gdy urzędnicy opublikowali listę i okazało się, że numer się zdublował. Tak, zwycięzca dostał oba samochody i zostały mu dostarczone. Jak do cholery mógł istnieć zduplikowany numer? To też nie był przypadek wyjątkowy.

Niemiecka loteria. Był 21 czerwca 1995 roku w Niemczech. Seria liczb, która wyszła, była Podobny do wydanego 20 grudnia 1986 r. Coś podobnego wydarzyło się po raz pierwszy na 3016 losowań. W co lub kto gra w ten sposób przez przypadek?

Odpowiedź kryje się w paradoksie, który, jak zobaczymy, wymaga dużej ilości matematyki.

Paradoks Bożego Narodzenia. Aby to zrozumieć Pewność matematyczna O czym wspominaliśmy we wszystkich poprzednich przykładach, musimy powrócić do jego prostego sformułowania w odpowiedzi na następujące pytanie: Ile musi być osób, aby prawdopodobieństwo było większe niż 50%, że dwie z nich mają wspólną datę urodzenia?

Jasne, pierwszą rzeczą, o której intuicyjnie myślimy, jest to, że szanse są bardzo niskie, ale jeśli przeprowadzimy obliczenia, wyjdzie nam 50,7%, co jest całkowicie sprzeczne z intuicją. Odpowiedź i magiczna liczba to grupa zaledwie 23 osób, co jest zaskakujące, ponieważ pokazuje, jak w małej grupie prawdopodobne jest, że danego dnia będą dzielić dwie osoby.

Który? Wyobraź sobie, że jesteś na imprezie dla 23 osób. Chociaż rok ma 365 dni, prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą miały tę samą datę urodzenia, nie jest tak niskie, jak mogłoby się wydawać. Każdy nowy w grupie ma wiele okazji do poznania innych. Na przykład pierwsza osoba nie ma nikogo, do kogo mogłaby pasować, druga ma jedną możliwość, trzecia ma dwie możliwości i tak dalej. Ostatecznie możliwych kombinacji jest tak wiele, że prawdopodobieństwo dopasowania szybko staje się wysokie.

Liczbowo, przy 23 osobach, jest 253 potencjalnych par, które mogą mieć wspólną datę urodzenia. Chociaż szansa na dopasowanie konkretnej pary jest niska, liczba par sprawia, że ​​ogólne prawdopodobieństwo wynosi około 50%. Wydaje się to paradoksalne, ponieważ nasza intuicja nie docenia liczby możliwości faktycznie dostępnych dla przypadku.

Matematyczny wzór na paradoks

Jak to się oblicza? Staram się, aby daty urodzenia wszystkich tych osób były różne. Zobaczmy: dana osoba ma określoną datę urodzenia. Prawdopodobieństwo, że druga osoba nie będzie pasować do pierwszej, wynosi 364/365. W przypadku trzeciej osoby, która nie pasuje do dwóch poprzednich, prawdopodobieństwo wynosi 363/365 i tak dalej, aż do tych 23 wyrazów.

Jeśli rozszerzymy to obliczenie na 23 osoby, otrzymamy prawdopodobieństwo, że żadne dwie osoby nie będą miały tej samej daty urodzenia, wynoszące 0,49, co oznacza, że Prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna para tak zrobi, wynosi 0,51 (Lub trochę więcej niż połowa).

Innymi słowy, wzór matematyczny na paradoks Bożego Narodzenia służy do obliczenia prawdopodobieństwa P(n), że w grupie znajdują się co najmniej dwie osoby. N Ludzie mają tę samą datę urodzenia. We wzorze każdy ułamek reprezentuje prawdopodobieństwo, że nowa osoba nie będzie dzieliła urodzin z poprzednimi osobami, a pomnożenie ich daje prawdopodobieństwo, że nikt nie będzie miał urodzin w tym samym dniu. Następnie odejmij od 1, aby obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby będą pasować.

Wyjaśnienie przypadku bułgarskiego. Skoro już sformułowaliśmy ten paradoks, zakończymy wyjaśnieniem pierwszego przypadku loterii w Bułgarii. Był to losowy wybór sześciu liczb z puli 49, a urzędnicy loterii powiedzieli, że nie da się manipulować przy maszynach. „Losowanie przeprowadzane jest w obecności specjalnej komisji i transmitowane na żywo w ogólnokrajowej telewizji, aby mieć pewność, że nie dojdzie do oszustwa”. Powiedzieli. To sprawia, że ​​dowolny zestaw sześciu liczb jest jednym zdarzeniem z 13 983 816: wynikiem arytmetyki kombinatorycznej wyrażonym (i wymawianym) jako „49 wybiera 6”.

Biorąc pod uwagę wybór 6 września (4, 15, 23, 24, 35 i 42), szanse na ponowne wystąpienie tej dokładnej kombinacji byłyby niezwykle mało prawdopodobne. Ale podobnie jak w przypadku paradoksu Bożego Narodzenia, nie o to powinniśmy zadawać pytanie. Pytanie brzmi: co stanie się z prawdopodobieństwem, że niektóre/dwa losowania będą zgodne w trzech losowaniach? Lub prawdopodobieństwo, że niektóre/dwa z 50 remisów będą pasować?

rozwiązanie. tak jak – wyjaśnił statystyk David Hand„W końcu w trzech loteriach są trzy możliwe sposoby dopasowania dwóch z nich. W czterech losowaniach jest sześć możliwych par, a w pięciu losowaniach dziesięć. Kiedy dojdziesz do 50 losowań, jest 1225 możliwych par, a przy 1000 losowań, istnieje 499 500 możliwych sposobów dopasowania dwóch zestawów liczb.

Zwiększa to znacznie szanse, ponieważ w przypadku wykonania 4404 rysunków istnieje większe prawdopodobieństwo, że dwa rysunki będą dokładnie do siebie pasować niż nie, a jak zauważa Hand: „Gdyby dwa rysunki pojawiały się co tydzień, co daje 104 rysunki w ciągu roku, byłoby to kwota potrzebna do pobrania poniżej 43 roku życia.

Dlatego nie jest zaskakujące, że zdarzyło się to raz 15 lat temu lub że zdarzyło się to również przy wielu innych okazjach. Badacz podsumowuje: „Kiedy weźmiemy pod uwagę liczbę loterii na całym świecie, widzimy, że zaskakującym byłoby, gdyby wypłaty nie były powtarzane od czasu do czasu”.

Oczywiście fakt, że stało się to w ciągu czterech dni jest Bardziej wyjątkowy fakt.

Obraz | Santeri Vinamaki, Iana Barbouradomena publiczna

W Chatace | Żaden trik nie zwiększy prawdopodobieństwa wygranej na loterii. Matematyka tak mówi

W Chatace | Dlaczego statystyka jest wielkim tematem XXI wieku?