Zasada nieoznaczoności

Załóżmy, że dostajesz mandat drogowy z informacją, że na 27. kilometrze autostrady jechałeś z prędkością 130 km/h, czyli o dziesięć więcej niż dozwolona. Więc twierdzisz, że Zgodnie ze słynną zasadą nieoznaczoności Heisenberga nie można jednocześnie poznać położenia i prędkości samochodu.; Dlatego karę należy anulować. Czy masz nadzieję, że Twoja sprawa zostanie rozpatrzona? (Rozwiązanie znajduje się na końcu tego artykułu).

Funkcja falowa

Zanim zagłębimy się w znaczenie słynnej Zasady Heisenberga, musimy pamiętać o ważnym postulatie fizyki kwantowej. Rozważmy dowolny rozmiar fizyczny cząstki, na przykład jej położenie. Zgodnie z teorią istnieją pewne szczególne stany cząstki zwane „Tryb własny», gdzie jego pozycja jest całkowicie określona. Jednym ze sposobów konceptualizacji takich sytuacji jest koncepcja „Funkcja falowa». Funkcja falowa, zwykle oznaczona grecką literą psi (ψ), ma wartość w każdym punkcie (x) przestrzeni, ψ(x); Ta wartość to A Zmierz prawdopodobieństwo Kiedy obserwujemy położenie cząstki, znajdujemy ją w tym punkcie. Ilustruje to rysunek, który przedstawia funkcję falową w kształcie góry. W tym przykładzie największe prawdopodobieństwo występuje wokół punktu centralnego, ale istnieje również pewne prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym innym punkcie.

Należy zauważyć, że funkcja falowa nie jest rzeczą fizyczną, którą możemy zmierzyć bezpośrednio. To, co możemy zmierzyć, to wielkości fizyczne, takie jak położenie i prędkość. Funkcja falowa jest raczej a Narzędzie sportowe Co pomaga nam przewidzieć prawdopodobieństwo uzyskania takiego czy innego wyniku w przypadku tych miar. Nie jest to jednak coś samo w sobie mierzalnego.

Jaka jest funkcja falowa cząstki o dobrze określonym położeniu, powiedzmy x0? Ponieważ może przyjmować tylko wartość różną od zera (przy x0), w tym momencie musi to być funkcja doskonale fragmentaryczna. Ta funkcja nazywa się „Delta Diraca». W języku mechaniki kwantowej funkcjami falowymi stanów własnych położenia są delty Diraca.

Co możemy zmierzyć

Rozważmy teraz inną wielkość fizyczną, a mianowicie… Prędkość. Cząstka może mieć całkowicie określoną prędkość; Oznacza to, że używając powyższej terminologii, możesz znaleźć się w stanie we własnym tempie. Dzieje się tak, że z postulatów fizyki kwantowej wynika, że ​​właściwości prędkości różnią się od właściwości położenia. Jej funkcja falowa ψ(x) przypomina nieskończoną strunę oscylującą na całej jej długości. Ta funkcja jest zwykle wywoływana Płaska fala. Funkcje falowe dla stanów prędkości własnej są falami płaskimi.

Najważniejszą właściwością fali płaskiej jest długość faliOznacza to odległość między dwoma szczytami lub dolinami (oznaczona na rysunku grecką literą π). Ogólnie rzecz biorąc, π jest bardzo małe (mikroskopijne), a jego konkretna wartość zależy od masy i prędkości cząstki: im jest większa, tym mniejsze będzie α. Czasami mówi się, błędnie, że α jest długością fali cząstki. W rzeczywistości jest to długość fali funkcji falowejgdy ma dobrze określoną prędkość.

Najważniejszym punktem powyższej dyskusji jest to Jeśli cząstka ma dobrze określoną prędkość, nie będzie miała dobrze określonej pozycji.Ponieważ jego funkcją falową jest fala płaska, a nie delta Diraca. W rzeczywistości, mierząc położenie, możemy uzyskać dowolną wartość z podobnym prawdopodobieństwem, ponieważ fala płaska rozciąga się w przestrzeni równomiernie: nielokalność cząstki jest absolutna.

Podobnie, jeśli cząstka znajduje się w stanie własnym położenia (delta Diraca), niepewność co do prędkości jest absolutna, co jest wynikiem mniej oczywistym, ale matematycznie możliwym do udowodnienia. Możemy również rozważyć Średnie przypadkigdzie stan cząstki nie jest ani określonym położeniem, ani prędkością.

Zasada nieoznaczoności

Jednak w takich przypadkach ani pozycja, ani prędkość nie są dobrze określone Niepewność co do nich nie jest absolutna. To rodzaj kompromisu, ale nigdy nie można sprawić, aby obie niepewności, Δx i Δυ, były równe zero jednocześnie. Można to dokładnie udowodnić Istnieje matematyczna granica Ze względu na to, jak mały jest, w szczególności: Δx · Δυ ≥ ħ/2m.

Jest to słynna zasada nieoznaczoności Heisenberga. W członku Po lewej stronie mamy iloczyn dwóch niepewności. W tym po prawej stronie ħ jest podstawową stałą naturykomunikować się Stała Plancka, a m jest masą cząstki. Wzór ten, po raz pierwszy sformułowany przez Wernera Heisenberga w 1927 r., jest niewątpliwie jednym z najsłynniejszych równań w mechanice kwantowej. Być może widziałeś go już wcześniej w filmach, czapkach lub koszulkach. Sposób, w jaki jest zwykle zapisywany, nie jest powyższą metodą, ale czymś bardzo podobnym: Δx · Δp ≥ ħ/2, gdzie p jest pędem liniowym cząstki, zdefiniowanym jako iloczyn masy i prędkości, p = mυ. Matematycznie Obydwa modele są całkowicie równe (Po prostu pomnożyliśmy oba elementy równania początkowego przez m.)

Należy podkreślić, że wbrew nazwie jest to zasada nieoznaczoności W rzeczywistości nie jest to zasada ani aksjomat, ale raczej teoria; Dowolny matematyczny wynik postulatów teorii. Biorąc pod uwagę jego wyjątkowe znaczenie, zagłębimy się w jego prawdziwe znaczenie.

Niepewności Δx i Δυ Nie wynika to z faktu, że nasze urządzenia pomiarowe są niedoskonałe i zdarzają się błędy.Dzieje się to naturalnie; Są to raczej zasadnicze wątpliwości. Co to znaczy? Często twierdzi się, że znaczenie zasady Heisenberga jest takie, że mierząc położenie cząstki, nieodwracalnie zmieniamy jej prędkość, więc nie możemy mieć nadziei na pomiar jednocześnie i z absolutną dokładnością. Ale sprawa jest głębsza: cząstka nie jest w stanie dokładnie określić swojego położenia i prędkości, niezależnie od tego, czy je mierzymy, czy nie. Po prostu nie ma funkcji falowej reprezentującej deltę Diraca (dobrze określoną pozycję) i falę płaską (dobrze określoną prędkość).

Życie codzienne

Gdyby to była zasada uniwersalna, Dlaczego nie zdajemy sobie z tego sprawy w naszym codziennym doświadczeniu? Kiedy patrzymy na krzesło, bez wątpienia wydaje się ono znajdować w dobrze określonej pozycji; Z dobrze określoną prędkością (w tym przypadku zerową) i bez wątpienia również. Aby zrozumieć ten fakt, musimy nieco głębiej zagłębić się w nasz wzór, Δx · Δυ ≥ ħ/2m. Iloczyn niepewności wynosi (co najmniej) ħ/2m. Czy to jest duże czy małe? Generalnie bardzo mały. Wartość ħ jest niewielka: w jednostkach konwencjonalnych ħ ≈ 7 × 10^−34 m^2 kg/s; Oznacza to, że 0,00……007 z trzydziestoma trzema zerami po prawej stronie przecinka. Ta małość wskazuje, że zasada nieoznaczoności odgrywa ważniejszą rolę w świecie mikroskopowym. Przyczynia się do tego również mianownik ułamka ħ/2m. Przypomnijmy m, które jest masą cząstki. Będąc w mianowniku, im jest on większy, tym mniejszy jest ułamek ħ/2m, a zatem tym mniejsze niepewności. Tak jest w przypadku obiektów makroskopowych, które można zaobserwować gołym okiem: krzesło, kamień, ziarnko ryżu, ziarnko piasku itp. dla nich, Niepewności Δx i Δυ mogą być bardzo małe i pomijalne. Jednakże w przypadku małej cząstki, takiej jak elektron, atom lub cząsteczka, która ma małą masę, niepewność kwantowa jest zawsze ważna.

Czy nas ukarają?

Jesteśmy teraz gotowi, aby wrócić do naszego planu pozbycia się mandatu za przekroczenie prędkości. Przypomnijmy naszą linię obrony: «Jeżeli mój samochód został wykryty na 27 km (a zatem z dobrze określonym położeniem), to nie można było z całą pewnością stwierdzić, że jego prędkość wynosiła 130 km/h, zasada nieoznaczoności temu zapobiega.». To stwierdzenie jest prawdziwe. Problem, jak widzieliśmy, polega na tym, że w przypadku obiektów mikroskopijnych (w przypadku samochodu) niepewność położenia i prędkości może być bardzo mała (chociaż nigdy nie osiąga zera). Zatem choć nie można powiedzieć, że samochód znajdował się w tym miejscu i z taką prędkością z absolutną precyzją, to niepewność ilościowa jest znikoma. Tylko gdybyśmy nalegali na określenie położenia i prędkości samochodu z absurdalną precyzją jednej bilionowej części bilionowej milimetra, zasada Heisenberga uniemożliwiłaby nam to. Niestety nie możemy powoływać się na zasadę nieoznaczoności, aby zakwestionować mandat drogowy!

Można jednak powiedzieć, że tylko zasada Heisenberga Stawia minimum wątpliwości, ale pozwala na dowolną wielkość, nawet w przypadku obiektów makroskopowych. Na przykład moglibyśmy powiedzieć (desperacko): „Kiedy wykryto mój samochód, znajdował się on na własnej pozycji, czyli dokładnie na 27 kilometrze; Zatem niepewność co do jego prędkości była całkowita. Jeśli jednak czegoś jesteśmy pewni, to tego, że ten argument nie zwolni nas z kary…

Artykuł ukazał się w zbiorczym numerze Muy Interesante nr. 25, Świat kwantowy.